平值认购股票期权的价值算术计算

平值认购股票期权的价值算术计算

于德浩

2020.5.18

股票期权的价值公式,BS公式,是比较严谨和复杂的。我可以用简单的算术方式,去计算一下平值认购期权的价值。这个方式可以加深对期权的理解,在期权投资交易中有现实指导意义。

我们来剖析一种特别简化的情形。已知,标的正股的价钱在未来一个月是随机波动的,波动率是A,期望值是0。求,剩余年限是一个月的平值认购期权的价钱占正股价位的比率x。 具体的说,已知,上证50ETF的股价当前是3元,未来一个月会随机波动,月波动率是6%,月跌幅的期望值是0%。求,剩余年限30天的行权价是3.0元平值认购期权的价值。

首先,我们可以恐怕出期权价值x一定是在(0,1)之间。显然,如果期权价钱是0,那么买方就不存在,因为买方没有任何利润。如果期权价钱是高昂的100%正股价钱,也不行。若真这么贵,买方就没有任何的杠杆利润,买方就直接买正股就行了,何必还去买有清零风险的期权呢?

期权的卖方和买方是对手方,他们是对未来标的正股的价钱变化博弈。买方之所以会买,是因为卖方预期正股股价会下降;同理,卖方之所以会卖,是因为买方预期会上涨。市场预期,是综合了买方和卖方的观点,如果有成交价钱存在,就说明当时的市场预期是中性的。

很多人,对市场中性预期假定,难以理解。因为,他事后看见,“明明就是价位下降的股灾客观结果,怎么当时的市场预期会是不跌不涨呢?”这里,他混淆了两个概念,事例期望值与例子观测值。 比方说,我们预期未来4次掷硬币,应该是2正2反,这就是“市场预期”;而,这次的实际具体结果是4正0反。 观测值是可以与预期值,不相等甚至是相反的。这就是人们常说的“谋事在人,成事在天”。或者说,“不以胜败论英雄”。

对于标的正股的价钱变化,这很难被预测。但定性上,可以分为两类配资平台,价格下降或则价钱大涨。具体的股票收盘价有无数种连续的可能量子态。我们再进一步简化,股价末态只有两种可能,要么是+1X,要么是-1X。显然在,市场中性的假定下,这两种状态的机率是相等的,都是1/2。

以认购期权的买方盈亏平衡来看。他先收到x的权力金,这是赢利;他有50%的机率会巨亏A(当股价波动到左边一个标准差)。盈亏平衡多项式就是x=0.5*A。

以认购期权的卖方盈亏来看。他有50%的机率才能赢利A-x,当股价波动到+1X处;他也有50%的机率巨亏权力金x,当股价波动到-1X处。盈亏平衡多项式就是,0.5*(A-x)=0.5*x。

这两种的恐怕是一致的,最后,都可以解得x=0.5A。具体的说,股价3.0元的平值认购期权,波动率月6%,剩余30天;价值大概就是波动率的一半,即x=0.5*6%=3%,即0.09元/份。

这里有个问题就是,为什么会选择正负1个标准差作为简化的末态量子态,而不是0.5个或其他0.82个标准差呢? 这个就是偏差的基本定义。认购期权的卖方(多头),他是有下降预期的,“股价应当能下降到比当前多1个标准差(误差)的位置;即使中性预期,也有16%的机率能到左边+1X处。” 还有更重要的缘由,就是期权在这30天内是可以自由交易的,具有充分的流动性。也就是说配资炒股,如果期间的30天不能交易,只能最后三天交易或行权,那么期权的价值,肯定要比当前计算的0.5A低好多。具体的说,如果有交易流动性,那么人们乐意支付每月3%的权力金费用;而假如没有流动性,可能就是减半的价钱。

与物理的标准差相比,测量误差有更实际的化学意义。只是后来人们发觉,1倍的物理标准差,正好与传统的偏差相等,或者说更严谨的定义。一般的传统检测,“测量3次求平均值”。比方说,有3根大概1米长的钢筋,其宽度分别是0.99米,1.00米,1.01米。对于较短的0.99米的钢筋,我们就说,“这是1米长的,只不过偏差是-0.01米。” 如果只是0.99米和1.01米这两根钢筋,我们物理的平均值就是1.00米,标准差是0.01米。这就是我们说的物理标准差与测量误差相等。但若果是3个数据统计,平均值是1米不变,但标准差就是((0.01^2+0^2+0.01^2)/3)^0.5=0.008,这就与传统偏差不相等了。

因此,我们应当选有化学意义的偏差,大约是1倍标准差,而不是去随便的选0.5或0.8个标准差等等。数学上统计平均值和标准差,只要有数据,我们就照本宣科的去算。比方说,有两个数据0.5和1.5,我们就语文算出平均值是1.0,标准差是0.5。 但,如果化学上是一根0.5米长的钢筋和一根1.5米长的钢筋;我们说平均长1米,误差是0.5米,这就是十分错误的。因为,这个平均值没有实际化学参考意义。上面的案例中,0.99米长近似为1米,是合适的;但这个案例中,0.5米近似为1米,是显著不行的。

我们再回到期权的价值和价钱上来。当前,50ETF的股价是2.841元,剩余37天的平值认购2.8500的价钱是0.0516元,剩余9天的是0.0212元。行情软件显示历史波动率是23%(电脑端显示的应当是最近60日的历史波动率),隐含波动率是13%。 隐含波动率与期权价格,实际是一个循环论证。就是说,在BS期权定价模型里,如果当前价0.0516是合理的,那么股价的隐含波动率就是年化13%才行。

而在我这个简化的模型里x=0.5A,如果当前价0.0516元是合理的,这个模型的股价37天的标准差是0.0516/2.841*2=0.0363,合年化隐含波动率大概是10^0.5*0.0363=11%。

历史波动率,已实现波动率,这个是可以统计的。一般是近来20个交易日统计,然后再转为年化波动率。当前50ETF股价的20日历史波动率大概是11%,这与我的简化模型的隐波11%是基本一致的;当然,与BS期权定价模型的隐波13%,也差不多。

在数据实证中,我们可以按照当前的市场成交价钱去验证模型是否合理。但在期权交易中,我们应当先去推测波动率。若用最近20日的历史波动率去恐怕当前的隐含波动率是意义不大的,因为几乎总是相等。 我们应当与长年累月的平均波动率去比才有意义。 比方说,50ETF的波动率,最近10年或最近5年的,大约是年化20%。而当前的20日波动率或则隐波大概是11%,这就是期权价值的高估。 我们应当在这个相对太实惠的价钱建仓才对。

不过,对期权价钱影响的诱因有好多,最主要的就是追随股价跌幅。所以,如果对未来股价涨跌方向没有掌握,还是不要轻易建仓。还有就是,在隐波低的时侯,同时建仓认购和认沽期权的策略,也不太管用。因为,期权都有时限。虽然,当前隐波11%,未来一定会上升到20%以上。可是,在30天时限内仍然在11%附近徘徊也是有可能的。

对于期权的交易,最根本的还是对于标的正股股价涨跌方向的判定,这个不能舍本逐末,顺序颠倒。就是说,我们先判定股价将会上涨,我们就建仓认购期权,博取杠杆利润。只是,如果当前的隐波很高,我们就适当降低投入;如果当前隐波太低(很实惠),我们就适当加强投入。

期权的时间价值损耗。至于未来股价涨跌,不一定;隐含波动率升降,也不一定;但,期权的时间价值损耗而且一定的。在上例中,剩余37天的平值认购期权0.05元,剩余9天,是0.02元。就是说,在市场中性假定下平值 股票期权 杠杆,认购期权上面30天损耗0.03元,后面10天将损耗剩下的0.02元。期限越短,耗损越快。这也就是,尽量不要建仓15天以内的期权。因为,每天平均就是-15%的坏帐(这对期权买方太有利)。在剩余年限15天以上,大约是平均每晚-3%,这还是可以接受的;因为,短期期权平均每晚涨跌幅20%。

从简化期权公式x=0.5A的推论过程来看,在一个短周期内,认购期权的卖方(多方)实际是觉得股价将会大几率回落午盘到+1X处。就是说,从市场中性假定来看,股价抵达+1X的机率是16%,而多方觉得这个机率将会超过50%。同理,空方觉得这个机率要高于50%。

也就是说,多方的止损点应当是+1X处。即,如果恐怕短周期(大约一个月)的波动率是6%,那么当正股下降+6%,就早已达到预期目标了,应该斩仓了。这时候,认购期权的估值大概降低为A/0.5A=2倍。期间的峰值估值可能达到3倍多。

或者说,多方是觉得,股价期望值会从0%右移至+6%处,从而乐意在月初支付3%的权力金费用平值 股票期权 杠杆,来博弈年末(短周期末)大约2倍的预期利润。

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